Главная
Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.
Для кольца R {displaystyle R} характеристикой c h a r R {displaystyle mathop {mathrm {char} } R} называется наименьшее целое n > 0 {displaystyle n>0} такое, что для каждого элемента r ∈ R {displaystyle rin R} выполняется равенство:
n ⋅ r = r + ⋯ + r ⏟ n = 0 {displaystyle ncdot r=underbrace {r+cdots +r} _{n}=0} ,а если такого числа не существует, то предполагается c h a r R = 0 {displaystyle mathop {mathrm {char} } R=0} .
При наличии единицы в кольце R {displaystyle R} характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число n {displaystyle n} такое, что n ⋅ 1 = 0 {displaystyle ncdot 1=0} , если же такого n {displaystyle n} не существует, то характеристика равна нулю.
Характеристики кольца целых чисел Z {displaystyle mathbb {Z} } , поля рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } , поля вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } , поля комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } равны нулю. Характеристика кольца вычетов Z / n Z {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } равна n {displaystyle n} . Характеристика конечного поля F p m {displaystyle mathbb {F} _{p^{m}}} , где p {displaystyle p} — простое число, m {displaystyle m} — положительное целое, равна p {displaystyle p} .
Тривиальное кольцо с единственным элементом 0 = 1 {displaystyle 0=1} — единственное кольцо с характеристикой 1 {displaystyle 1} .
Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n {displaystyle n} , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля K {displaystyle K} есть либо 0 {displaystyle 0} , либо простое число p {displaystyle p} . В первом случае поле K {displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } , во втором случае поле K {displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K {displaystyle K} ).
Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} и алгебраическое замыкание поля F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} .
Если R {displaystyle R} — коммутативное кольцо простой характеристики p {displaystyle p} , то ( a + b ) p n = a p n + b p n {displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}} для всех a , b ∈ R {displaystyle a,bin R} , n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.