Мера Радона

Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной.

Определение

Пусть μ есть мера на сигма-алгебре борелевских множеств в хаусдорфовом топологическом пространстве X.

Мера μ называется внутренне регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) совпадает с супремумом μ(K) для компактных подмножеств K в B.

Мера μ называется внешней регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) является инфимумом μ(U) по всем открытым множествам U, содержащим B.

Мера μ называется локально конечной, если каждая точка в X имеет окрестность U, для которой значение μ(U) конечно. (Если μ локально конечна, то μ конечна на компактных множествах.)

Мера μ называется мерой Радона, если она внутренне регулярна и локально конечна.

Замечание

• Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова «компактный» на «замкнутый и компактный» везде, но это обобщение пока не имеет приложений.

Примеры

Примеры мер Радона:

• Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная на борелевские подмножества);
• Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе;
• Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
• Гауссовы меры на евклидовом пространстве R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} с его борелевской сигма-алгеброй;
• Вероятностные меры на σ-алгебре борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, например, меру Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1].

Следующие меры не являются мерами Радона:

• Считающая мера на евклидовом пространстве не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
• Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка является компактным топологическим пространством. Мера, которая равна 1 на любом множестве, содержащем несчётное замкнутое множество, и 0 в противном случае, является борелевской, но не является мерой Радона.
• Пусть X — это множество [0,1), оснащённое топологией стрелки. Мера Лебега на этом топологическом пространстве не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна. Последнее следует из того, что в этой топологии компактные множества не более чем счётны.
• Стандартная мера произведения на ( 0 , 1 ) κ {displaystyle (0,1)^{kappa }} с несчётным κ {displaystyle kappa } — не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1.

Свойства

Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство, μ — меру Радона на X {displaystyle X} .

• Мера μ задаёт линейный функционал на пространстве всех финитных функций на X, то есть непрерывных функций с компактным носителем: I : f ↦ ∫ X f d μ {displaystyle Icolon fmapsto int limits _{X}f,dmu }

Более того:

• Этот функционал полностью определяет саму меру.
• Этот функционал непрерывен и положителен. Положительность означает, что I ( f ) ⩾ 0 {displaystyle I(f)geqslant 0} , если f ⩾ 0 {displaystyle fgeqslant 0} .

Метрика Радона

Конусу всех мер Радона на X {displaystyle X} можно придать структуру полного метрического пространства. Расстояние между двумя мерами Радона μ 1 , μ 2 {displaystyle mu _{1},mu _{2}} , определяется следующим образом:

ρ ( μ 1 , μ 2 ) = sup { ∫ X f ( x ) d ( μ 1 − μ 2 ) ( x ) } , {displaystyle ho (mu _{1},mu _{2})=sup left{int limits _{X}f(x),d(mu _{1}-mu _{2})(x) ight},}

где супремум берётся по всем непрерывным функциям f : X → [ − 1 , 1 ] {displaystyle fcolon X o [-1,1]}

Эта метрика называется метрикой Радона. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью.

Пространство Радоновых вероятностных мер на X {displaystyle X} ,

P ( X ) := { μ ∣ μ ( X ) = 1 } , {displaystyle {mathcal {P}}(X):={mu mid mu (X)=1},}

не является секвециально компактным по отношению к этой метрике, то есть не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится.

Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер:

ρ ( μ n , μ ) → 0 ⇒ μ n ⇀ μ {displaystyle ho (mu _{n},mu ) o 0Rightarrow mu _{n} ightharpoonup mu }

Обратное неверно в общем случае.

Интегрирование

Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) производится в несколько шагов:

Определяется верхний интеграл μ*(g) полунепрерывных снизу положительных (вещественных) функций g как супремум (возможно, бесконечный) положительных чисел μ(h) для финитных непрерывных функций h≤g.

Определяется верхний интеграл μ*(f) для произвольной положительной вещественнозначной функции f как инфимум верхних интегралов μ*(g) для полу-непрерывных снизу функций g≥f.

Определяется векторное пространство F = F(Х;μ) как пространство всех функций f на X, для которых верхний интеграл μ*(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полунорму на F, и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой.

Определяется пространство L1(X,μ) интегрируемых функций как замыкание в F пространства непрерывных финитных функций.

Определяется интеграл для функций из L1(X,μ) через расширение по непрерывности (после проверки того, что μ непрерывна относительно топологии L1(X,μ)).

Определяется мера множества как интеграл (когда он существует) функции индикатора множества.

Можно убедиться, что эти действия дают теорию, идентичную той, что начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству в X.